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Los Siete Problemas del Milenio.

Bueno mis cibernautas les vengo a mencionar sobre los 7 problemas matemáticos del milenio.

Se han llamado «Los siete problemas del Milenio» a siete enunciados que han traído de cabeza a los matemáticos de los últimos años del siglo XX, y que podrían haber sido ocho si el profesor Andrew Wiles no hubiera probado la Ultima Conjetura de Fermat en el año 1994.

Los Siete Problemas del Milenio han sido elegidos por una institución privada de Cambridge, Massachutsets (EEUU), el Instituto Clay de Matemáticas,para premiar con un millón de dólares USA a quien resuelva al menos uno de estos problemas.

Por noticias de las ultimas semanas del mes de marzo de 2002, sabemos que un matemático inglés, Martin J. Dunwody, de la Universidad de Southampton, afirma haber resuelto completamente uno de estos problemas, concretamente el cuarto, la llamada Conjetura de Poincaré, que, aunque había sido ya resuelta en los casos de n > 3 por algunos matemáticos (Michael Freedman, Steven Smale, E. C. Zeeman, etc….), se mantenía inaccesible, curiosamente, para n =3.

El trabajo de Dunwoody puede verse aquí.

Los Siete Problemas del Milenio, brevemente enunciados, serían:

1. Problema P (difícil de encontrar) contra NP (fácil de verificar):

Este problema, planteado de manera independiente en 1971 por Stephen Cook y por Leonid Levin se considera hoy día el problema central de la computación teórica.

La cuestión es que existen, por una parte, problemas resolubles de manera determinista mediante algoritmos poli nómicos y en un tiempo polinomio, como puede ser, por ejemplo la resolución de ecuaciones, la realización de sumas, productos, etc…, pudiendo acotar el tiempo de resolución, mas o menos largo, de una manera aceptable. Estos son los problemas P.

Sin embargo, también existen problemas NP que pueden resolverse de forma indeterminista probando una solución conjeturada. Esta comprobación es de una gran rapidez en comparación con el tiempo polinomial necesario en general para la resolución determinista de los problemas P.

Está claro que todo problema P es también NP, esto es, todo problema resoluble en tiempo polinomial mediante un algoritmo adecuado (P), es también un problema que admite una comprobación rápida (NP).

Pero, ¿y al revés?. ¿Existen problemas NP que no sean P?. Esto es, ¿existen problemas que admiten una comprobación de solución o no solución conjeturada y, en cambio, no admiten en tiempo polinomial una resolución algorítmica?

En el cálculo computacional pueden presentarse problemas en donde el número de alternativas posibles para una determinada condición de proceso es tan grande que ni siquiera con las supercomputadores existentes aún en nuestra tecnología se podrían afrontar en toda la vida de un ser humano, pues no tendría para ello el suficiente tiempo (es el problema P). En cambio, la verificación de que una determinada alternativa verifica la condición de proceso es algo prácticamente instantáneo (es el problema NP).

Si, por ejemplo, queremos colocar 6000 libros en 200 estantes, de modo que se cumpla la condición de que no estén juntos ciertos libros de diferente materia, nos encontramos que el número de alternativas posibles podría superar al número de átomos de la Vía Láctea, con lo cual, el determinarlas todas (problema P – difícil de encontrar) es precisamente eso, muy difícil en la actual tecnología de la computación. En cambio, el verificar una de estas alternativas como válida, cuando alguien conjetura una solución, (problema NP – fácil de verificar) es inmediato.

En estos ejemplos, en los que el problema NP es comprobable de inmediato, pero el problema P parece no existir, ¿se debe esto a que realmente el problema P no es posible o bien que no se tiene la tecnología computacional adecuada para su resolución de forma algorítmica en tiempo polinomial?

Esta es la pregunta no contestada que da consistencia al problema. Entre los ejemplos actuales más candentes está el de la criptografía y la comprobación de claves informáticas (NP) en contraposición al problema de generación algorítmica de tales claves en un tiempo polinomial (P).

Puede verse una descripción detallada del problema, por Stephen Cook, de la Universidad de Toronto.

2. La conjetura de Hodge:

Esta conjetura afirma que para ciertos espacios particulares denominados Variedades Proyectivas Algebraicas, las partes llamadas Ciclos de Hodge son realmente combinaciones de Ciclos Algebraicos.

Puede verse una descripción detallada del problema, por P. Deligne.

3. Ecuaciones de Navier-Stokes:

Existe desde el siglo XIX un conjunto de ecuaciones que permite estudiar las turbulencias en los líquidos y en los gases, sin que exista una teoría matemática que las fundamente. El desafío consiste en encontrar tal fundamentación.

Puede verse una descripción detallada del problema, por Charles L. Fefferman, de la Universidad de Princeton

4. La Conjetura de Poincaré:

Para n ³ 3, la única superficie compacta, orientable y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera Sn. Esto es, la superficie de una esfera, en cualquier número de dimensiones mayor que 2 puede contraerse hasta un único punto de forma continua, dicho de otro modo, la superficie de una esfera es simplemente conexa.

Puede verse una descripción detallada del problema, por J. Milnor.

5. La Hipótesis de Riemann:

Afirma la Hipótesis de Riemann que las partes reales de los ceros, a+bi, de la llamada Función Zeta son siempre a = 1/2, es decir, están alineados. Esta función es:

Puede verse una descripción detallada del problema, por E. Bombieri.

6. La Teoría de Yang-Mills:

La llamada Teoría de Yang-Mills describe las partículas elementales de la Mecánica Cuántica, y sus Interacciones fuertes usando estructuras geométricas.

Estas descripciones teóricas han sido comprobadas experimentalmente en laboratorio y también obtenidas mediante simulación computacional, pero no existe edificada una teoría matemática que establezca un fundamento para las mismas.

Puede verse una descripción detallada del problema, por Arthur Jaffe y Edward Witten.

7. La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer:

Aún cuando ya sabemos que no existen métodos generales para resolver las ecuaciones diofánticas tal como pedía el décimo de los problemas de Hilbert (demostrado en 1970 por Yu. V. Matiyasevich), sin embargo, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer afirma que en el caso de las soluciones de las ecuaciones diofánticas generales, cuando éstas son los puntos de una variedad abeliana, el conjunto de los puntos que son soluciones racionales de las mismas depende de la función zeta, z(n), asociada, de modo que si z(1) = 0, hay infinitas soluciones, y si z(1) <> 0, el número de soluciones es finito.

Puede verse una descripción detallada del problema, por Andrew Wiles.

Bueno en lo personal de estos problemas o conjeturas las que mas me gustan son la 4 y la 1.

También Zhu Xiping y Cao Huaidong, dos matemáticos chinos, dieron con la solución a la «conjetura de Poincaré», uno de los mayores problemas matemáticos del siglo XX. De confirmarse, el hallazgo podría ayudar a comprender la forma del cosmos y a catalogar todas las formas tridimensionales del universo. Ahora el trabajo deberá ser sometido al examen de la comunidad científica internacional hasta ser reconocido oficialmente.

El problema fue enunciado en 1904 por el matemático francés Henri Poincaré, uno de los iniciadores de la topología geométrica, una rama de las matemáticas que mide y establece las superficies del universo. Si bien el planteo es difícil de entender para los no especialistas, se puede decir básicamente que intenta demostrar que la esfera tridimensional es el único espacio limitado de tres dimensiones sin orificios. Pero ni el propio Poincaré ni nadie había podido corroborarlo hasta ahora, y por eso sigue siendo una «conjetura» y no es un «teorema».

En 2002, el científico ruso Grigori Perelman anunció que había encontrado la solución al enigma, pero nunca publicó los resultados completos de sus investigaciones, sino sólo papeles preliminares, y siempre fue reacio a participar de actos públicos. Por eso, los chinos continuaron su trabajo, y se apoyaron también en investigaciones del estadounidense Richard Hamilton. De hecho, los nombres de ambos aparecen en el título de la solución del problema, que ocupa más de 300 páginas de la última edición de la «Asian Journal of Mathematics», una revista estadounidense.

Zhu es profesor de matemáticas en la Universidad de Zhongshan, en la provincia de Cantón, en el sur de China, y Cao se desempeña en la Universidad Lehigh de Pensilvania, Estados Unidos. Ambos trabajaron dos años en la solución de la conjetura, dirigidos por Shing-Tung Yau, un profesor de la Universidad de Harvard.

Anticipándose a una posible polémica sobre la autoría de la solución, la Academia China de Ciencias ya dijo que Perelman «estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo específicamente cómo resolver el enigma».

La conjetura de Poincaré es uno de los siete «Problemas del Milenio» establecidos por el Instituto Clay de Massachussetts, que ofrece un millón de dólares de premio a quien que sea capaz de resolverlos. Pero es necesario que el trabajo se publique en una revista científica y se superen dos años de revisiones de la comunidad matemática. Perelman no cumplió con esas premisas. Y ahora los chinos deberán esperar.

Esto fue en 2006…

Bueno ahí les dejo las conjeturas, ¿quién se anima a demostrar uno de esos ?

  1. ivan
    13 febrero 2011 a las 0:41

    solucioné el tema de los primos, su distrubución, solo quiero saber mas detalles y seguramente quieran saber de mi, tienen mi amail, escribanme, contactenme, fue por casi coicidencia pero lo demostre

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